n→∞ n^n的极限是多少 —

n→∞ n^n的极限是多少 —图1

我曾在文章《数学科学是最广大世界的最重要组成部分之一,不能算是自然科学》里分析到:“……数学在本质上就是一种关于数字(人为定义的反映事物量化指标和事物之间数量关系的一种特殊符号,其中的字母即不确定或尚未确定的数字,其中的变量即描述指定事物某个运动过程的不断变化的数字)、图形的特殊符号的运算和实证科学,这些符号之间有着较严密的逻辑关系。如式子“1+1=2”就表明:在自然数的发展过程中,先有符号“1”,才有符号“2”,且规定“2=1+1”,又如:平面四边形符号就是人类对现实世界某一侧面可近似看成平面四边形的物体的直观表达,而“平面四边形的内角和是三角形的两倍”就表明:两个等底三角形可拼成一个平面四边形。这些符号还代表事物的较精确的尺寸、范围、程度、大小、空间位置关系等,即量化的和逻辑严密的符号。比如:一个人身高1.90米,就比用文字语言“这个人长得很高”精确得多;用数字、运算符号和少量文字结合空间直角坐标系内球面与平面的具体位置精确表达它们的位置关系时,就比光用数字、运算符号和少量文字表达得既直观又准确。”可见,当n→∞时,根据事物的普遍联系和永恒发展规律,对于反映事物运动变化过程中的量化指标和事物之间数量关系的一种特殊符号——实变量n,如果已由普通变量质变成无穷级变量,它有两种变化发展方向,即数学科学里的+∞-∞,分如下两种情况讨论:

(1) 当n→+∞时,设正变量n在永无止境地增大过程中,任一时刻的相对静止数为常数a(a>0),则有n >>a。这时对于高阶无穷变量n^n,根据不等式的性质,有n^n>>n^a>>a^a,而a^a属于任意正实数,因此,n→+∞时,lim n^n→+∞,即高阶无穷变量n^n不存在极限,它是相对于正无穷大量n的高阶无穷大量

n→∞ n^n的极限是多少 —图2

(2)当n→-∞时,设负变量n在永无止境地减小过程中,任一时刻的相对静止数为常数a'(a′<0),则有n<<a',-n>>-a'>0。这时对于高阶无穷变量n^n,有n^n=-1/(-n)^(-n),且根据不等式的性质,有(-n)^(-n)>>( -n)^(-a')>>(- a')^(-a')>0,而(- a')^(-a')属于任意正实数,因此,n→-∞时,(-n)^(-n) →+∞,则 n^n=-1/(-n)^(-n)→0-,lim n^n=0,即高阶无穷变量n^n存在极限0,它是相对于负无穷大量n的负无穷小量

综上讨论,当实变量n→∞时,严格地讲,其高阶无穷变量n^n整体上呈发散式变化,不存在极限值。

n→∞ n^n的极限是多少 —图3

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